Numération-opé.

Les représentations et leurs questions

Pourquoi, après le nombre 9, on écrit dix avec le chiffre 1 et le chiffre 0 (10) ?

Pourquoi, après le nombre 9, on n'écrit pas dix avec le chiffre 0 et le chiffre 1 (01)?

Pourquoi 10 (une dizaine et zéro unité) ne se dit pas dix zéro ?

Pourquoi le nombre 584 (centaines, dizaines, unités) ne s'écrit pas 485 (unités, dizaines, centaines) ?

Les signes "+", "-", "x" n'expliquent rien.

Le chiffre de la retenue n'explique rien.

Pourquoi 10⁰ = 1 ?

Un exemple

Dans la classe, l'enseignant aborde la retenue :

Je vous laisse trouver les explications...

C'est abstrait.

Avec l'apprentissage de la numération, la retenue, ce sont les élèves qui la découvrent !

addition_retenue_002

Dans l'addition 25 + 36, il y a 5 dizaines.

Dans le résultat 61, il y a 6 dizaines.

Sarah a entouré les dix croix des 5 + 5 unités en faisant un paquet supplémentaire :

c'est la retenue !

Il reste une croix toute seule.

25 + 36 = 61 : Soixante et un

Numération

Le principe de la numération, c’est d'entourer (en bleu) les objets (croix) en fonction de la base.

Puis d'entourer les paquets formés toujours avec la même logique (en changeant de couleur à chaque niveau - rouge puis vert).

Le tableau des résultats se remplit à l’envers.

En dessinant les croix (unités) et les paquets (dizaines, centaines, mille) de différentes couleurs, les choses sont concrètes.

L’élève associe les chiffres positionnés à ce dessin.

Ensuite, il associera les mots à ces chiffres positionnés et ce dessin.

La numération avec les différents niveaux des paquets permet également la compréhension des puissances.

Paquets, croix, couleurs, tableau (codage)
Les hommes ont 10 doigts. Ils comptent par 10 !
Numération Niveau 1 - bleu Avec des extra-terrestres ou des robots (comptez les doigts) ! On entoure les croix en bleu toujours de la même façon (la même logique) pour faire des paquets. On s'arrête quand ce n'est plus possible.
Numération Niveau 2 - rouge Etape très importante pour la compréhension de la numération. On entoure les croix en Bleu puis on entoure les paquets Bleu en rouge toujours de la même façon (la même logique). On s'arrête quand ce n'est plus possible.
Numération Niveau 3 - vert Bleu , rouge , vert ... avec la même logique. Et on comprend le tableau : paquets de plus en plus gros vers la gauche Remarque : on finit toujours par revenir à la base 10.
Tableau du nombre
Argumentation	Expliquer le fonctionnement de la numération est la priorité. Offrir une représentation graphique aux élèves est incontournable. Faire travailler les élèves dans plusieurs bases leur permet de mieux comprendre les choses (transposition). Cela permet d'arriver au niveau 2 et 3 plus facilement puisqu'il y a moins de données dans les paquets. Le résultat (nombre et couleurs des paquets) est ainsi plus visible. Le fait de voir les élèves dessiner les paquets permet de vérifier leur compréhension. Au cours de l'année de CP, de plus en plus d'élèves seront à l'aise si cette activité est régulièrement menée. Cela doit être repris au cycle 3 (avec les puissances) car c'est fondamental.
Vidéo	2 min. 50 s

Tableau à l'envers !

A l'envers !

Naturellement, et c'est logique, les enfants ont tendance à penser qu'il faut remplir le tableau des résultats en commençant par les croix, puis les paquets de plus en plus gros.

Il faut faire comprendre qu'on remplit à l'envers.

C'est la clé de la compréhension de l'écriture de notre numération.

numeration_envers_01

L'élève a bien compris (croix, paquets bleus, paquets rouges, paquets verts) mais il a rempli le tableau à l'endroit (du plus petit vers le plus grand !)

numeration_envers_02

Décodage
Ce que l'on sait faire dans un sens (codage), on doit être capable de le faire dans l'autre sens (décodage) C'est fondamental ! Les enfants cherchent à remplir un paquet rouge ! On se sert des erreurs des enfants pour faire progresser la compréhension : Il y a ceux qui mettent des croix... Il y a ceux qui mettent un paquet bleu... Il y a ceux qui mettent des paquets bleus mais pas avec la bonne quantité. On remplit, un peu plus tard, un paquet vert base puissance 3 Quand les enfants sont à l'aise, ils sont heureux car ils savent qu'ils ont compris !


Au CE1, les élèves remplissent un paquet noir (base puissance 4). Toujours avec la même logique. Dans le paquet noir, on met des paquets verts (dans la bonne base = nombre de doigts). Dans les paquets verts, on met des paquets rouges (dans la bonne base = nombre de doigts). Dans les paquets rouges, on met des paquets bleus (dans la bonne base = nombre de doigts). Dans les paquets bleus, on met des croix (dans la bonne base = nombre de doigts). Encore une fois, les manipulations/les dessins sont plus faciles avec la base 3 ou 4.

Dessiner les nombres - Etape importante !
Au début de l'apprentissage, les élèves devaient entourer les croix pour faire les paquets bleus, rouges et verts (codage) et remplir le tableau du nombre à l'envers.	Pour dessiner les nombres, il faut partir du tableau et dessiner les paquets : Les élèves font la relation entre les chiffres du tableau (position) et les unités, dizaines, centaines, mille.
417 a été écrit au tableau. Les enfants doivent dessiner les paquets et les croix.
Si un enfant ne sait pas dessiner, cela se voit : c'est qu'il n'a pas encore compris ! Il faut faire référence à la représentation graphique fondamentale : les croix (qui symbolisent les objets), puis les paquets bleus, puis les paquets rouges et enfin les paquets verts. Il faut vérifier la compréhension du remplissage du tableau (lecture en ligne et en colonne - signification des chiffres)

Position
Les couleurs, les paquets et les croix, les chiffres, le tableau et la position des chiffres sont étroitement liés.
Peut-on remplir le tableau ? Oui ! La couleur des paquets et les croix renseignent sur la valeur des représentations graphiques. Il y a 2 mille, 4 centaines, 3 dizaines et 5 unités.
Peut-on remplir le tableau ? Non ! L'absence de couleurs des paquets ne renseignent pas sur la valeur des représentations graphiques. Par contre pour la représentation croix, on sait. Il y a 5 unités.
Peut-on remplir le tableau ? Oui ! La couleur des chiffres renseignent sur la valeur des mille, centaines, dizaines, unités.
Peut-on remplir le tableau ? Non ! L'absence de couleurs des chiffres ne renseignent pas sur la valeur des chiffres.
Peut-on dessiner le nombre ? Oui ! Les chiffres sans couleurs sont positionnés. On sait combien il y a de mille, de cents, de dizaines et d'unités. On peut faire le dessin du nombre.

A vant !

Dans l'autre sens !

Avec Avant, c'est plus compliqué (appel à la soustraction : on enlève une croix).

C'est là où on introduit l'ouverture d'un paquet pour pouvoir récupérer des croix et continuer !

(Passage 20 à 19 par exemple)

La manipulation 'avant 1000' ne doit pas vous faire peur !

Elle permet de renforcer la compréhension de la numération.

avant_apres_02

Combien de mots ?
Il y a 1 ou 2 chiffres dans les nombres de 0 à 69. Le nombre de mots est variable. Les 'gentils' : le nombre de mots est identique au nombre de chiffres. Par exemple : 4 - quatre ; 17 - dix sept... Les 'méchants' : le nombre de mots est inférieur ou supérieur au nombre de chiffres. Par exemples : 10 - dix (zéro non dit) ; la série de 11 à 16 ; 31 - trente et un Il faut faire compter les mots !
Ecrire les nombres avec les couleurs fait prendre conscience aux élèves des difficultés entre le nombre de chiffres et le nombre de mots. Le nombre 25 se lit avec 2 mots Le nombre 417 se lit avec 4 mots Le nombre 6342 se lit avec 6 mots Le nombre 2008 se lit avec 3 mots...
Evaluation Quand les élèves sont à l'aise pour naviguer entre - le dessin des paquets et des croix, - l'écriture en chiffres et l'écriture en lettres, on peut dire qu'ils ont compris la numération.

Trait = mot
On met des traits (vert, rouge, bleu, noir) pour visualiser les mots, l'absence des mots ou les 'méchants'. La représentation graphique (paquets/couleurs/traits) permet de comprendre.
Dans l'exemple à droite, on voit bien que le trait bleu et le trait noir sont rattachés : quatorze c'est dix-quatre (méchant !)
3 nombres avec des traits avait été écrit au tableau. Les élèves devaient écrire les mots. Ils se sont aperçus des difficultés de la numération : - 1 trait vert : obligation d'écrire 'mille' - 1 trait rouge : obligation d'écrire 'cent' - 2 traits bleus : soixante-dix ou quatre-vingt - 3 traits bleus : obligation de 'quatre-vingt-dix' mais pas 'quatre-vingt-onze' - 1 trait bleu/noir : 11 à 16 - pas de trait : zéro et pas de mot !

Chiffres muets = chiffres barrés

Pour l'apprentissage de la lecture, on doit barrer les lettres muettes.

Pour la compréhension de la lecture des nombres, on doit également barrer les chiffres muets.

Ainsi la logique dans les apprentissages est renforcée.

chifre_muet

Les zéros dans les nombres ne se prononcent pas (le zéro tout seul, oui !)

Les 1 de cent et de mille non plus !

Remarque : dans 901 000, par exemple, là on prononce le 1 de mille.

On doit barrer également le nom des cases que l'on ne prononce pas (dans la photo ci-dessous c'est 'millions').

Tout ce qui aide à la compréhension est le bienvenu !

Zéros !

On dessine ce nombre au tableau :

nombre_02

Les enfants écrivent : 24

Ils n'ont pas faux : il y a bien 2 paquets verts et 4 croix : ils sont aussi heureux que les romains !

Mais nous, nous utilisons une numérotation de position.

Si on enlève les couleurs, le 24 devient 24 !

Dans la classe, 2 enfants avaient écrit 2004

On a confronté les résultats : pour une fois, la majorité n'avait pas raison !

70 80 90

Ce n'est pas la compréhension du nombre de paquets qui pose problème.

Ce sont les mots employés (deux ou trois mots pour 1 chiffre)

70 fait appel à l'addition
80 fait appel à la multiplication
90 fait appel à la logique de 70 et de 80

On transpose la logique

- au lieu de soixante on prend trente...
- au lieu de quatre on prend trois...

Et les élèves comprennent très bien !

comprendre_70_80_90

Cases

unités simples - mille - millions - milliards !

Au CE 1, une fois que la numération est bien en place, on doit passer aux milliards pour faire bien comprendre tous les mécanismes :

Les enfants ont du mal à se représenter le nombre en terme de quantité (nous aussi !).

Le fait d'imaginer une succession de paquets de plus en plus gros ne leurs pose pas de problème.

De plus, ce n'est pas difficile de le lire (en tous les cas, c'est beaucoup moins complexe que les 70 et 90 !)

milliards

On parle de 4 cases avec des centaines, dizaines et unités dedans.

Le fait d'introduire les millions et les milliards en plus des mille permet de mieux comprendre.

NB : les 4 cases seront toujours visibles au CE1 pour faciliter la compréhension (le concret).

L'élève, en dessinant les cases (encadrer les chiffres par 3) à partir de la droite, prouve qu'elle a compris.

Puissances

Se servir de la numération pour expliquer les puissances.

Expliquer le puissance zéro = 1

Base trois

Paquet vert

Bleu - rouge - vert

Les croix ont été entourées trois fois.

Trois puissance trois

3³ = 3 x 3 x 3 = 27

Base trois

Paquet rouge

Bleu - rouge

Les croix ont été entourées deux fois.

Trois puissance deux

3² = 3 x 3 = 9

Base trois

Paquet bleu

Bleu

Les croix ont été entourées une fois.

Trois puissance un

3¹ = 3

Base trois

croix seul (unité)

La croix a été entourée zéro fois.

Trois puissance zéro

3⁰ = 1

On se sert des apprentissages de la numération (paquets/couleurs) pour faire comprendre le sens des opérations et les mécanismes.

Les mécanismes des opérations, c'est juste des paquets ou des croix en plus ou en moins !

Les manipulations mettent en évidence la compréhension des élèves.

Cœur des opérations au CE1

Numération et addition dessinée au CE1

1 min

Numération et soustraction dessinée au CE1

1 min 40

Numération et multiplication dessinée au CE1

1 min

Découverte de la retenue
Découverte de la retenue Les élèves dessinent les nombres (paquets bleus et croix) 25 + 36 *Ils ne pensent pas à faire le paquet supplémentaire !* On compte les paquets bleus et les croix. Sur la photo à droite, on trouve 5 paquets bleus et 11 croix. On vérifie avec la calculatrice. 25 + 36 = 61... Problème ! On fait appel à l'intelligence ! Un grand plaisir pour ceux qui trouvent...
Tout fonctionne par dix. Dix paquets bleus font un paquet rouge. La manipulation met en évidence la retenue !
Question : doit-on se contenter de cette représentation ? -->

Soustractions dessinées
Le dessin de l'élève met en évidence sa compréhension de la soustraction (on enlève).
Il fallait enlever 2213 à 3254. L'élève a d'abord barré les paquets. Ensuite, les paquets ont été effacés et les croix barrés pour rendre le résultat plus visible. Vous pouvez voir, sur la photo, que l'élève a commencé par barrer les paquets verts (mille) : c'est naturel. L'apprentissage fera que, plus tard, les élèves devront commencer par les unités.
Erreur : si l'élève dessine les deux nombres (234 et 122), il fait une addition (il ajoute !).

Multiplications à retenues

On aborde la multiplication (avec retenue) au CE1.

Ils dessinent les nombres (mille, centaines, dizaines unités).

Puis ils travaillent sur les paquets supplémentaires en commençant par les unités (tout marche par 10 !)

La représentation graphique permet de visualiser les retenues : les paquets supplémentaires.

Le dessin donne le résultat.

Quand l'élève a compris, le calcul est bien sûr la méthode la plus rapide.

multiplications_retenue

Remarques

A chaque nouvelle étape, il faut toujours donner du temps aux élèves pour qu'ils puissent trouver les solutions eux-mêmes.

La classe, c'est 25 cerveaux !

Une fois que l'enfant a compris, on peut passer à l'étape de l'abstraction.

On constate, chez une minorité d'élèves, qu'il faut attendre le milieu de l'année du CE1 pour que tout se mette vraiment en place. Le cycle 2 : c'est CP & CE1 !

Conclusion

Un enseignement global, scientifique et cohérent

La numération et les opérations sont imbriquées. L'une sert à l'autre.

La priorité, c'est de faire comprendre aux élèves le fonctionnement de la numération avec une représentation graphique.

Puis il faut se servir de la numération pour expliquer les opérations.

Les manipulations (dessin des nombres et opérations) mettent en évidence la compréhension des élèves.

Les représentations graphiques qui expliquent les concepts fondamentaux doivent être au cœur des apprentissages.

Pour les élèves en difficulté, ces fondamentaux doivent être présents même au cycle 3 : soutien par les élèves qui ont compris.

Méthodologie en début de CP

Représentations graphiques